Hier wird mit der zweiten Ableitung die Extrempunkte von einem Bild betrachtet, die der Laplace-Operator verwendet.


Im Folgenden wird der Canny-Edge-Algorithmus erklärt. Jedoch gibt es weitere Kantendetektions-Algorithmen, die ebenso auf diesem Blog vorgestellt werden. Die Fett-hervorgehobenen Algorithmen sind bisher erklärt worden.

 


Der Laplace-Operator

Mit der zweiten Ableitung können die Extrempunkte von einem Bild betrachtet werden. Bei der zweiten Ableitung sind werden die Extrema von der ersten Ableitung mit einem Nullpunkt dargestellt. Ausgehend von der ursprünglichen Funktion zeigt die zweite Ableitung die Wendepunkte der Funktion an. Damit die zweite Ableitung zur Kantendetektion genutzt werden kann wir die Formel vom Laplace-Operator aus der Analysis verwendet.

 

\[\bigtriangledown^{2}f := \frac{\delta^{2}f}{\delta x^{2}f} + \frac{\delta^{2}f}{\delta y^{2}f}\]

 

Der Laplace-Operator verschwindet sobald beide partielle Ableitungen Null sind. Dieser Zustand weißt auf eine Kante hin. Damit diese Formel als Faltungsmatrix interpretiert werden kann, muss die Formel zunächst diskretisiert werden. Das Ziel von einer Diskretisierung ist kontinuierliche Objekte als diskrete Teilmenge darstellen zu können. Das heißt, dass man beispielsweise eine geschwungene Linie in endlicher Zeit und mit endlichen Speicherplatz darstellen will. Daraus ergibt sich die folgende Filtermaske, die sich aus der Diskretisierung der jeweiligen partiellen Ableitung ergeben. Das Resultat enthält die Variable G:

 

\[G^{L} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -4 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \]

 

Der Laplace-Filter ist anfällig auf Rauschen, weil die Filtermaske stark gewichtet ist. Die Nachbarn um den Filterkern glätten das Bild. Ist das Rauschen punktförmig ist der Einfluss der umgebenden Pixel nicht groß. Deswegen können Bildartefakte verstärkt werden. Wird nach dem Vorzeichen gesucht, wir das Ergebnis ins negative verbessert. Deswegen kann unter der nicht Berücksichtigung des Vorzeichen dennoch gute Ergebnisse vorgestellt werden.

Damit der Algorithmus ein Vorzeichenwechseln erkennt, müssen folgende Schritte getätigt werden:

  • Für jedes Pixel werden alle Paare gegenüberliegenden Paare betrachtet. Beispielsweise die Paare oberhalb und unterhalbe oder rechts und links von einem Pixel.
  • Enthält mindestens ein Paar unterschiedliche Vorzeichen so wird das aktuelle Pixel als Kantenpixel markiert. Ansonsten wird es als nicht Kantenpixel markiert
  • Das Resultat ist kein Grauwertbild, sondern ein Binärbild

Jedoch wird beim Laplace-of-Gaussian Verfahren die Vorzeichensuche häufig verwendet.

 


Quellen:

[1] Kantenextraktion, Christoph Wagner, Januar 2006, Universität Ulm

[2] Digitale Bildverarbeitung, B. Jähne, Springer, 2002, 4. Auflage

[3] Logo von https://de.wikipedia.org/wiki/Laplace-Filter#/media/File:Kanten_laplace.png

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